عیدی

قانون کولن (Coulomb’s law) چیست؟ — به زبان ساده

۲۲ مرداد ۱۳۹۷

در این مطلب قصد داریم تا در مورد اصول الکتریسیته بحث کنیم. از نظر بنیادی می‌دانیم که الکتریسیته در نتیجه حرکت موجوداتی به نام «بار الکتریکی» (Electric Charge) به‌وجود می‌آید. بنابراین به‌منظور وارد شدن به این دنیای جذاب نیاز داریم تا ابتدا به ساکن، مفاهیم مربوط به بار‌های الکتریکی را درک کنیم.

به جرات می‌توان گفت، تصویری که از دنیای مدرنِ امروزی در ذهن داریم در نتیجه نبوغ شخصی به نام «نیکولا تسلا» (Nikola Tesla) است. او را می‌توان برترین مهندس تاریخ و شاید تاثیر‌گذارترین دانشمند تجربی دانست.

بار الکتریکی

در حالت کلی دو نوع بار الکتریکیِ مثبت و منفی در طبیعت وجود دارد. البته شاید نوع دیگری هم وجود داشته باشد اما بشر تاکنون قادر به مشاهده آن نبوده! در ابتدا «بنجامین فرانکلین» (Benjamin Franklin)، دانشمند آمریکایی توانست بار الکتریکی را مشاهده کند. او با استفاده از ساییدن اجسام مختلف به یکدیگر توانست بار‌های الکتریکی را توصیف کند. فرانکلین مشاهده کرد که اجسام باردار یکدیگر را جذب می‌کنند. در ادامه ماهیت این نیرو را بیشتر توضیح خواهیم داد.

بدیهی است که بارهای مخالف همدیگر را جذب و بار‌های موافق یکدیگر را دفع می‌کنند. واحد اندازه‌گیری بار الکتریکی کولن است که آن را با C نشان می‌دهند. جالب است بدانید که کوچک‌ترین بار موجود در طبیعت، بار یک الکترون یا پروتون است که برابر با مقدار زیر محاسبه شده.

charge

بار الکتریکی هر ماده به صورت مجموعه‌ای از مقدار بالا در نظر گرفته می‌شود. به بیانی دقیق‌تر می‌توان گفت، یک الکترون، یک واحد بار را که معادل با e- است، جابجا می‌کند و یک پروتون باری به اندازه e+ را با خود حمل می‌کند. برای سیستم بسته‌ای که نسبت به محیط اطراف خود عایق است، مقدار کل بار الکتریکی ثابت است. همانند قانون پایستگی انرژی، قانون پایستگی بار نیز وجود دارد. در حقیقت بار الکتریکی فقط می‌تواند از یک سیستم به سیستم دیگر منتقل شود.

قانون کولن

از آزمایش فرانکلین می‌توان فهمید که هر دو سیستمی که دارای بار الکتریکی باشند، به یکدیگر نیرو وارد خواهند کرد. در حقیقت این نیرو برآیند نیروهایی است که ذرات باردار به یکدیگر وارد می‌کنند. نیروی موجود بین دو تک‌ذره باردار را می‌توان با استفاده از «قانون کولن» (Coulomb’s law) محاسبه کرد. برای بررسی بیشتر، مطابق با شکل زیر دو ذره q1 و q2 را تصور کنید که در فاصله r از یکدیگر و در یک محیط خلاء قرار گرفته‌اند.

charge

شکل ۱ 

قانون کولن می‌گوید ذره‌ شماره ۱ به ذره شماره ۲ نیرویی برابر با مقدار زیر وارد می‌کند.

charge-2.JPG

اگر توجه کرده‌ باشید رابطه بالا بصورت برداری بیان شده. از این رو هم اندازه و هم جهت نیرو را نشان می‌دهد. در معادله بالا ke ثابت کولن است و $widehat r= frac {overrightarrow{r}} {‍‍‍{|r|}}$ نشان دهنده بردار واحدی است که جهت آن از ذره ۱ به سمت ذره ۲ در نظر گرفته می‌شود. در شکل ۱ هریک از این اجزا نشان داده شده. توجه داشته باشید که نیروی الکتریکی، برداری است که هم دارای اندازه و هم جهت است. در واحد SI ثابت کولن برابر با مقدار زیر تعریف می‌شود.

charge

در رابطه بالا مقدار $epsilon_0$ را می‌توان به صورت زیر تعریف کرد.

charge

عدد $epsilon_0$ را «ثابت گذردهی خلاء» می‌نامند. روابط بالا نشان دهنده‌ نیرویی است که از طرف ذره شماره ۱ به ۲ وارد می‌شود. نیرویی که ذره ۲ به ۱ وارد می‌کند نیز برابر با همین مقدار ولی جهت آن عکس است. بنابراین برای دو ذره باردار که به یکدیگر نیرو وارد می‌کنند، می‌توان نوشت:

charge

همان‌طور که از قوانین نیوتن نیز به یاد دارید، گزاره بالا بیان کننده مفهوم قانون سوم نیوتن است. برای نمونه اتم هیدروژن از یک الکترون و یک پروتون تشکیل شده. فاصله میانگین این دو ذره برابر با $r=5.3×۱۰^{-۱۱}m$ است. از این رو مقدار نیروی بین پروتون و الکترون را می‌توان به شکل زیر بدست آورد.

charge

با توجه به مفاهیم بیان شده در مطلب گرانش می‌توان مقدار نیروی گرانشی بین الکترون و پروتون را برابر با مقدار زیر بدست آورد.

charge

بنابراین همان‌طور که محاسبه شد، می‌بینید که مقدار نیروی گرانشی بسیار کم‌تر از نیروی الکترواستاتیکی بدست آمده. از این رو در ابعاد بسیار کوچک می‌توان تنها نیرو‌های الکترواستاتیکی را در نظر گرفت.

در حقیقت می‌توان اتم هیدروژن را به صورت الکترونی در نظر گرفت که به دور پروتون می‌چرخد.

قانون جمع آثار

قانون کولن را می‌توان برای هر سیستم دو ذره‌ای نوشت. زمانی که چندین ذره را به عنوان یک سیستم در نظر بگیریم، نیروی وارد به یکی از آن‌ها برابر با برآیند‌ نیروهایی است که هرکدام از آن‌ها به ذره مذکور وارد می‌کنند. برای نمونه اگر سه ذره وجود داشته باشد، نیروی نهایی وارد شده به ذره سوم برابر با برآیند نیروهایی است که هریک از اجزا به این ذره وارد می‌کنند. در نتیجه داریم:

charge

این اصل با جزئیات بیشتری در مثال زیر بیان شده است.

مثال ۱

سه ذره باردار مطابق با شکل زیر در کنار یکدیگر قرار گرفته‌اند.

شکل ۲

فرض کنید بارهای این ذرات به صورت زیر هستند.

charge

هم‌چنین فاصله a را برابر با $a=2.0×۱۰^{-۲}m$ در نظر بگیرید. در این صورت نیروی خالص وارد شده به ذره شماره ۳ چقدر است؟

با استفاده از قانون جمع آثار می‌توان نوشت:

معادله ۱

در رابطه بالا، عبارت دوم منفی در نظر گرفته می‌شود چرا که بار ذره دوم منفی است. بردارهای واحد $widehat {r}_{13}$ و $widehat {r}_{23}$ در یک جهت نیستند. از این رو به‌منظور جمع زدن دو بردار، بهتر آن است که هر دوی آن‌ها را در مختصات کارتزینی تجزیه کنیم. با توجه به شکل ۲ بردار $widehat {r}_{13}$ را می‌توان در مختصات کارتزینی و به صورت زیر بیان کرد:

charge

به همین شکل بردار $widehat {r}_{23}$ را می‌توان برابر با $widehat {i}$ فرض کرد. با جایگذاری این دو بردار در معادله ۱،‌ داریم:

charge

مقدار بالا جهت نیروی F را در دو راستای عمود برهم نشان می‌دهد. از این رو می‌توان با بتوان رساندن هر کدام از اجزا و گرفتن جذر از آن‌ها، مقدار نیرو را به شکل زیر بدست آورد.

charge

هم‌چنین زاویه این نیرو با محور xها برابر است با:

charge

همان‌طور که در مثال بالا دیدید، نیروی وارد به یک ذره را می‌توان با استفاده از جمع برداری هرکدام از نیروها محاسبه کرد. بر همین مبنا نیروی وارد به ذره jام که در یک سیستم N ذره‌ای قرار گرفته، برابر با مقدار زیر است.

charge

در رابطه بالا $overrightarrow {F}_{ij}$ نشان دهنده نیروی بین دو ذره i و j است. قانون جمع آثار می‌گوید که جهت و اندازه نیروی بین دو ذره به حضور بقیه ذرات وابسته نیست. توجه داشته باشید که این فرض زمانی درست است که بار‌های الکتریکی در موقعیت مشخصی ثابت نگه داشته شوند.

مثال ۲

سه ذره مطابق با شکل زیر در کنار یکدیگر قرار گرفته‌اند. اندازه و جهت نیروی وارد شده به ذره شماره (۳) را محاسبه کنید.

charge

اندازه نیروی وارد شده از طرف ذره ۱ که در سمت چپ قرار گرفته، برابر است با:

charge

با توجه به این‌که فواصل تمامی ذرات برابر با L در نظر گرفته شده، بنابراین زاویه نیروی وارد شده به ذره ۳ از طرف ذره ۱،‌ با محور x برابر با ۶۰ درجه است. در شکل زیر این نیرو به همراه زاویه آن نشان داده شده [در حقیقت سه ذره، سه رأس یک مثلث متساوی‌ الاضلاع را تشکیل می‌دهند].

charge

با توجه به متقارن بودن مسئله می‌توان فهمید که نیروی F23 نیز برابر با F۱۳ و زاویه آن نسبت به محور x برابر با ۶۰ درجه است. از آنجایی که اندازه دو نیرو با هم برابر هستند، از این رو نیروهای وارد شده به ذره شماره ۳، مولفه x همدیگر را خنثی کرده و برآیند مولفه‌ y آن‌ها به صورت زیر در می‌آیند. اندازه هر‌کدام از نیروها در راستای محور y برابر با مقدار زیر است.

charge

بنابراین با دو برابر کردن عدد بالا، نیروی خالص وارد شده به ذره شماره ۳ برابر با مقدار زیر بدست می‌آید.

charge

در بسیاری از مسائل می‌توان حالت تعادل سیستم را با استفاده از قانون کولن تعیین کرد. برای نمونه می‌توانید به مثالی که در ادامه آمده توجه کنید.

مثال ۳

مطابق با شکل زیر سه بار الکتریکی به جرم m و بار q در حالت تعادل قرار گرفته‌اند. فرض کنید که طول نخ برابر با $l=30 enspace cm$ و جرم ذرات ۰.۱ کیلوگرم باشد. اگر زاویه تعادل نخ با محور عمودی برابر با ۴۵ درجه باشد، اندازه بار q چقدر است؟

charge

به منظور حل مسائل تعادل،‌ در ابتدا بایستی نمودار آزاد اجرام را رسم و نیرو‌های وارد به آن‌ها را تعیین کرد. در شکل زیر نمودار آزاد مربوط به ذره سمت چپ رسم شده.

charge

همان‌طور که در شکل بالا نیز مشخص شده، ۴ نیرو به این ذره وارد می‌شود. این نیروها به شرح زیر هستند.

  • نیروی کشش: T
  • نیروی وزن: Mg
  • نیروی وارد شده از طرف ذره وسط: Fmid
  • نیروی وارد شده از طرف ذره سمت راست: Ffar

واضح است که با صفر قرار دادن برآیند نیروهای بالا در دو راستای x و y رابطه بین زاویه تعادل و اندازه بار q بدست می‌آید. برای استفاده از قانون کولن در ابتدا بایستی فاصله میان بار‌ها را بدست آوریم؛ بنابراین فاصله بین دو ذره q برابر است با:

charge

با بدست آمدن فاصله بین دو ذره، نیروی وارد شده از طرف ذره وسط به ذره سمت راست برابر است با:

charge

از طرفی با توجه به برابر بودن فواصل، فاصله بین ذره سمت راست و ذره سمت چپ دو برابر فاصله‌ای است که در بالا بدست آمد. بنابراین داریم:

charge

در نتیجه نیروی وارد شده از طرف ذره سمت راست به ذره چپ (Ffar) برابر است با:

charge

از آنجایی که سیستم در حالت تعادل است، بنابراین برآیند نیرو‌های وارد شده در راستای y بایستی صفر باشند. در نتیجه نیروی T را می‌توان به صورت زیر محاسبه کرد.

charge

به همین ترتیب برآیند نیروها در راستای x نیز بایستی صفر باشند. بنابراین می‌توان نوشت:

charge

از آنجایی که نیروی T را محاسبه کرده‌ایم، بنابراین تنها مجهول در معادله بالا q است. از این رو بار الکتریکی q را می‌توان به صورت زیر بدست آورد.

charge

charge

در حالت کلی وجود این‌ تک‌ذره‌ها هستند که دیگر مفاهیم الکتریسیته هم‌چون میدان، پتانسیل و ولتاژ را بوجود می‌آورند.

اگر به مباحث مرتبط در زمینه فیزیک و مهندسی علاقه‌مند هستید، آموزش‌های زیر به شما پیشنهاد می‌شود:

  • مجموعه آموزش‌های فیزیک
  • آموزش‌های ریاضی و فیزیک
  • مجموعه آموزش‌های مهندسی برق
  • مدار الکتریکی — مفاهیم و کاربردها
  • آموزش فیزیک الکتریسیته

^^

نوشته قانون کولن (Coulomb’s law) چیست؟ — به زبان ساده اولین بار در وبلاگ عیدی. پدیدار شد.