عیدی

میدان الکتریکی (Electric Field) چیست؟ – از صفر تا صد

۲۴ مرداد ۱۳۹۷


تعداد بازدید ها:
۹

در مطلبی تحت عنوان قانون کولن در مورد نیروهای وارد شده به مجوعه‌ای از ذرات بحث کردیم. این که یک ذره به موجودات اطراف خود چه نیرویی وارد می‌کند، به جرم اطراف وابسته است. اما آیا به راستی می‌توان خاصیتی تعریف کرد که توانایی هر ذره را در تولید نیرو بدون در نظر گرفتن بار ذرات اطراف بیان کند. در این قسمت قصد داریم تا در مورد چنین مفهومی صحبت کنیم.

تعریف میدان الکتریکی

نیرو‌های الکترواستاتیکی همانند نیروی گرانشی در امتداد یه خط مستقیم عمل می‌کنند. این نیروها حتی در زمانی که دو ذره در تماس با یکدیگر نباشند، نیز وجود دارند. برای توضیح این پدیده، مفهومی تحت عنوان میدان الکتریکی تعریف می‌شود. میدان الکتریکی خاصیتی است که هر بار الکتریکی در اطراف خود ایجاد می‌کند.

برای بدست آوردن اندازه و مقدار این خاصیت از جزئی فرضی تحت عنوان بار آزمون استفاده می‌شود. این بار در حقیقت موجودی است که میدان الکتریکی ایجاد شده توسط بار q را حس می‌کند. میدان الکتریکی، برداری فیزیکی اطراف یک بار است که با استفاده از عبارت زیر تعریف می‌شود.

charge

به منظور تاثیر نگذاشتن بر میدان ناشی از q، بار q0 به اندازه بینهایت کوچک فرض شده. شبیه‌سازی بین میدان گرانشی دو جرم و میدان الکتریکی دو بار، در شکل زیر نشان داده شده است.

charge

در حقیقت میدان گرانشی را می‌توان هم‌چون میدان الکتریکی، با استفاده از فرمول زیر بیان کرد:

charge

از این رو می‌توان گفت: «بار q میدان E را در اطراف خود ایجاد کرده و نیروی Eq0 را به ذره q0 وارد می‌کند.»

با استفاده از قانون جمع آثار میدان الکتریکی ناشی از مجموعه‌ای از ذرات را می‌توان با استفاده از جمع برداری میدان‌ها و در قالب سری زیر بیان کرد.

charge

رابطه بالا دقیقا همان‌ مفهومی است که در مطلب قانون کولن در مورد نیروهای وارد شده به مجموعه‌ای از ذرات شرح داده شد.

خطوط میدان الکتریکی

ابتدایی‌ترین روش برای نشان دادن میدان الکتریکی، استفاده از خطوط میدان است. با بکارگیری این خطوط، می‌توان به توصیف درستی از وضعیت میدان الکتریکی در فضا دست یافت. شکل زیر خطوط میدان الکتریکی را برای دو ذره با بار مثبت و منفی نشان می‌دهند.

charge

همان‌طور که در شکل بالا نیز مشخص است، خطوط میدان الکتریکی برای ذرات با بار مثبت به صورت شعاعی دورشونده و همین خطوط برای ذرات با بار منفی به صورت نزدیک‌ شونده هستند. این خطوط برای ذراتی با اندازه برابر و علامت مخالف، به شکل زیر هستند.

charge

جهت تعیین الگوی خطوط میدان می‌توان نکات زیر را مد نظر قرار داد.

  1. تقارن: اگر دو بار را با استفاده از یک خط به هم وصل کنیم، الگوی میدان الکتریکی بایستی نسبت به این خط متقارن باشد.
  2. میدان نزدیک بار: هنگامی که به اندازه کافی به یک ذره نزدیک می‌شویم، میدان ناشی از آن نسبت به میدان‌های دیگر ذرات، بسیار بزرگ‌تر است. در نتیجه خطوط میدان الکتریکی نزدیک یک بار به صورت کروی در نظر گرفته می‌شوند.
  3. میدان دور از بار: در فاصله‌ای بسیار دور از مجموعه‌ای از بارها، خطوط میدان را می‌توان ناشی از یک بار به اندازه $Q=sum {Q_i}$ در نظر گرفت.

در حالت کلی می‌توان ویژگی‌های زیر را برای خطوط میدان تعریف کرد.

  1. جهت میدان الکتریکی در یک نقطه برابر با بردار مماس بر خطوط میدان در آن نقطه در نظر گرفته می‌شود.
  2. تعداد خطوطِ میدان در واحد سطح، در  صفحه عمود بر خطوط، نشان‌دهنده قدرت میدان در صفحه مد نظر است.
  3. خطوط میدان از ذرات با بار مثبت شروع شده و به ذرات با بار منفی ختم می‌شوند.
  4. تعداد خطوطی که از بار مثبت خارج و یا به بار منفی وارد می‌شوند، نشان‌دهنده اندازه بارهای الکتریکی مذکور هستند.
  5. دو خط میدان الکتریکی،‌ هیچ‌گاه همدیگر را قطع نخواهند کرد.

نیروی اعمال شده به ذره قرار گرفته در میدان الکتریکی

مطابق با شکل زیر فرض کنید که بار مثبت q بین دو صفحه با بار مخالف در حال حرکت است.

charge

همان‌طور که از شکل بالا نیز پیدا است، میدان ناشی از این بار‌ها تنها در جهت y هستند. از این رو می‌توان گفت:

charge

در بالا گفتیم که هرگاه باری در میدان الکتریکی قرار گیرد، میدان مذکور به آن نیرو وارد می‌کند. بنابراین در حالت کلی نیروی وارد شده به بار q که در میدان E قرار گرفته برابر است با:

$$overrightarrow {F}=overrightarrow {E}q$$

توجه داشته باشید که در این مثال بار q میدان ناشی از بار‌هایی را تجربه می‌کند که روی صفحات قرار گرفته‌اند. البته شاید این سوال را در ذهن داشته باشید که نیروی ناشی از میدان خود ذره q لحاظ می‌شود؟ پاسخ این سوال منفی است چراکه با توجه به قانون سوم نیوتن بار q به خود نیرویی وارد نمی‌کند. از طرفی با استفاده از قانون دوم نیوتن می‌توان شتاب وارد شده به ذره را به شکل بدست آورد.

charge

به نظر شما سرعت ذره در لحظه رسیدن به صفحه دوم چقدر است؟

با بکارگیری معادلات گالیله، سرعت ذره در لحظه رسیدن به صفحه دوم را می‌توان بشکل زیر بدست آورد.

charge

جالب است بدانید که انرژی جنبشی ذره در لحظه رسیدن به صفحه پایین، برابر است با:

charge

بدست آوردن میدان الکتریکی نیز دقیقا همانند محاسبه نیرو است. در حقیقت میدان ناشی از مجموعه‌ای از بارهای الکتریکی، در نقطه‌ای از فضا را می‌توان با استفاده از برآیند میدان‌های تک‌تک ذرات بدست آورد. برای درک بهتر به مثال‌ ارائه شده در ادامه توجه کنید.

مثال ۱

مطابق شکل زیر دو بار qa و qb در فاصله c از یکدیگر قرار گرفته‌اند. تصور کنید که دقیقا در وسط این دو بار، بار جدید qc را قرار می‌دهیم.

Electric-field

در این حالت نیروی وارد شده به بار qc چقدر است؟ بار‌ها و فواصل در این مسئله به شرح زیر هستند.

$$q_a=50mu C enspace , enspace q_b=100mu C, enspace q_c=20mu C , enspace c=1.0 enspace m $$

با توجه به مفاهیم بیان شده در قانون کولن، می‌توان نیروی ناشی از بار‌های a و b را به صورت جداگانه روی ذره c محاسبه کرد. اما روش آسان‌تر این است که میدان الکتریکی را در نقطه c محاسبه کنیم و با قرار دادن بار c در آن نقطه، نیروی وارد به بار را بدست آوریم. بنابراین میدان الکتریکی ناشی از بار‌های qa و qb به ترتیب برابر هستند با:

charge

charge

در نتیجه برآیند میدان الکتریکی در نقطه c را می‌توان به شکل زیر بدست آورد.

charge

علامت منفی پشت میدان الکتریکی نشان دهنده این است که میدان الکتریکی برآیند در این نقطه در خلاف جهت محور x است. با استفاده از فرمول F=Eq می‌توان نیروی وارد شده به بار c را به صورت زیر محاسبه کرد.

charge

توجه داشته باشید که در محاسبه نیروی ناشی از میدان روی یک ذره، بایستی علامت بار و علامت میدان را اعمال کرد.

توزیع پیوسته بار‌های الکتریکی

در واقعیت معمولا میدان الکتریکی ناشی از توزیع پیوسته‌ای از بار مورد بررسی قرار می‌گیرد. در چنین مسائلی در ابتدا میدان ناشی از دیفرانسیلی از بار را محاسبه کرده و پس از آن با استفاده از انتگرال‌گیری، میدان تمامی بارها را محاسبه می‌کنیم. در حقیقت باری به اندازه dq را در نظر می‌گیریم و میدان ناشی از آن را بدست می‌آوریم. در شکل زیر دیفرانسیل بار و میدان الکتریکی ناشی از این جزء نشان داده شده.

charge

مهم‌ترین نکته در این روش یافتن رابطه‌ای منظم بین بار‌ها و میدان الکتریکی به نحوی است که امکان انتگرال‌گیری وجود داشته باشد. به‌منظور محاسبه میدان ناشی از توزیع پیوسته‌ای از بار‌های الکتریکی در ابتدا نیاز داریم تا مفهومی تحت عنوان «چگالی بار» (Charge Density) را تعریف کنیم.

چگالی بار

همان‌طور که در بالا نیز بیان شد، میدان الکتریکی ناشی از تعدادی بار الکتریکی را می‌توان با استفاده از روش جمع آثار بدست آورد. معمولا توزیع‌های پیوسته بار الکتریکی، در قالب مفاهیمی هم‌چون چگالی حجمی، سطحی و یا خطی بار الکتریکی بیان می‌شود.

چگالی حجمی بار الکتریکی

شکل زیر توزیع حجمی پیوسته‌ای از بارهای الکتریکی را نشان می‌دهد. بدیهی است که این توزیع،‌ میدانی الکتریکی را در نقطه دلخواه P ایجاد خواهد کرد.

charge

از این رو در ابتدا جزء حجمی به اندازه $Delta V_i$ را در نظر بگیرید. همان‌طور که می‌دانید این جزء شامل باری الکتریکی است که آن را با $Delta q_i$ نشان می‌دهیم. با این فرضیات چگالی حجمی بار الکتریکی که تابعی از بردار است را می‌توان به شکل زیر بیان کرد:

charge

در سیستم SI واحد کمیت تعریف شده در بالا برابر با C/m3 است. با توجه به رابطه بالا کلِ بارهای موجود در یک سیستم را می‌توان با استفاده از انتگرال‌گیری زیر محاسبه کرد.

charge

برای درک بهتر چگالی بار الکتریکی می‌توانید از مفهوم چگالی جرمی استفاده کنید. در حقیقت عبارت زیر، معادل با رابطه بالا برای حالتی است که می‌خواهیم جرم کل یک سیستم را محاسبه کنیم.

charge

چگالی سطحی بارهای الکتریکی

مشابه با حالت حجمی، در حالت مواجه با مسئله‌ای دوبعدی، می‌توان از مفهوم چگالی سطحی بار الکتریکی استفاده کرد. از این رو چگالی سطحی سیستمی با مساحت سطح A و بار q با استفاده از رابطه زیر تعریف می‌شود.

charge

واحد σ در سیستم SI برابر با C/m2 است. با استفاده از تعریف چگالی سطحی، بار کل موجود در یک سطح دوبعدی را می‌توان به شکل زیر محاسبه کرد.

charge

چگالی خطی بارهای الکتریکی

میله‌ای به طول l را تصور کنید که حاوی باری الکتریکی به اندازه q است. برای این میله چگالی خطی به شکل زیر محاسبه می‌شود.

charge

واحد λ در SI برابر با C/m است. با توجه به تعریف انجام شده،‌ می‌توان کل بار موجود در یک سیستم یک بعدی را با استفاده از انتگرال زیر بدست آورد.

charge

معمولا توزیع بار در مسائل را به صورت یکنواخت در نظر می‌گیرند. در حقیقت اعداد ρ ،σ و λ برابر با مقادیری ثابت در تمامی دامنه توزیع بار در نظر گرفته می‌شوند. حال با توجه به تعریف مفهوم چگالی، قادریم تا میدان الکتریکی ناشی از توزیع پیوسته بار‌های الکتریکی را محاسبه کنیم.

میدان الکتریکی ناشی از توزیع پیوسته بارهای الکتریکی

برای محاسبه میدان الکتریکی در ابتدا میدان ناشی از بار جزئی dq را با استفاده از رابطه زیر بیان می‌کنیم.

charge

بدیهی است که به منظور محاسبه میدان کل، بایستی از رابطه بالا،‌ در تمامی دامنه انتگرال گرفت. برای نمونه میدان ناشی از توزیع حجمی بار الکتریکی را می‌توان به صورت زیر بدست آورد.

charge

برای درک بهتر مفهوم توزیع بار‌های الکتریکی، توجه شما را به مثال‌های زیر جلب می‌کنیم.

مثال ۲

مطابق شکل زیر میله‌ای به طول L را تصور کنید که باری برابر با q- در خود نگه داشته است. فرض کنید که توزیع بار در این میله به صورت کاملا یکنواخت باشد. میدان الکتریکی در فاصله a از لبه سمت راست میله چقدر است؟

charge

همان‌طور که در بالا گفتیم، برای حل چنین مسائلی در ابتدا بایستی الگویی برای توزیع بار تعریف کنیم. از آنجایی که در این مسئله بار به صورت یکنواخت در میله توزیع شده، بنابراین می‌توان چگالی خطی بار الکتریکی را به صورت زیر تعریف کرد.

charge

در مرحله دوم بخشی کوچک از میله را در نظر می‌گیریم و میدان الکتریکی ناشی از آن را محاسبه می‌کنیم. بنابراین با توجه به چگالی تعریف شده، داریم:

charge

با توجه به مختصات تعریف شده برای r، بایستی انتگرال dE را از a تا a+L محاسبه کرد. بنابراین می‌توان گفت:

charge

البته در بعضی از موارد راحت‌تر است که انتگرال را در مختصات استوانه‌ای یا کروی بدست آوریم. در مثال زیر از مختصات استوانه‌ای به‌منظور محاسبه میدان ناشی از حلقه‌ای باردار استفاده شده است.

مثال ۳

همانند شکل زیر فرض کنید بار Q به شکلی یکنواخت روی حقله‌ای توزیع شده. در این صورت میدان ناشی از این توزیع در فاصله z از حلقه را بیابید.

charge

شکل ۱

از آنجایی که توزیع بار به صورت یکنواخت در نظر گرفته شده، بنابراین می‌توان جزء بار الکتریکی و دیفرانسیل میدان ناشی از آن را به صورت زیر محاسبه کرد.

charge

از آنجایی که سیستم متقارن است بنابراین مولفه‌های x و y میدان یکدیگر را خنثی کرده و فقط این مولفه z است که وجود خواهد داشت. در نتیجه می‌توان گفت که تنها دیفرانسیل زیر است که غیر صفر خواهد بود.

charge

با انتگرال‌گیری از رابطه بالا میدان الکتریکی برابر می‌شود با:

charge

رابطه ۱

با توجه به شکل ۱ مقدار cos θ را می‌توان با استفاده از رابطه زیر بدست آورد.

charge

با جایگذاری cos θ در رابطه ۱، نهایتا میدان الکتریکی برابر با مقدار زیر بدست می‌آید.

charge

رابطه بالا بیان می‌کند که میدان یک دیسک به صورت پیوسته کم نمی‌شود. در حقیقت در ابتدا اندازه میدان به یک مقدار ماکزیمم رسیده و پس از آن کاهش می‌یابد. نمودار زیر تغییرات اندازه میدان الکتریکی را بر حسب فاصله از دیسک نشان می‌دهد.

charge

شاید قبل از بدست آوردن میدان الکتریکی این احساس را داشته باشیم که با دور شدن از دیسک،‌ میدان الکتریکی به‌صورت پیوسته کم می‌شود. مثالی که در ادامه آمده، نمونه‌ای مناسب برای درک مفهوم میدان الکتریکی ناشی از توزیع سطحی بار الکتریکی است.

مثال ۴

مطابق با شکل زیر فرض کنید، می‌خواهیم میدان الکتریکی ناشی از توزیع بار Q روی دیسکی به شعاع R را در فاصله x از دیسک محاسبه کنیم.

charge

شکل ۲

با توجه به یکنواخت بودن توزیع بار، چگالی سطحی بار الکتریکی برابر با مقدار زیر تعریف می‌شود.

charge

برای محاسبه میدان، در اولین قدم حلقه‌ای به ضخامت دیفرانسیلی da را مطابق با شکل ۲ در نظر می‌گیریم؛ پس از آن میدان دیفرانسیلی ناشی از آن را محاسبه کرده و نهایتا با انتگرال‌گیری روی کل دیسک، میدان الکتریکی کل نیز بدست خواهد آمد. مساحت حلقه کوچک در نظر گرفته شده، برابر است با:

charge

این حلقه حاوی باری به اندازه زیر است.

charge

بار جزئی محاسبه شده در بالا،‌ منجر به میدانی جزئی در فاصله x از خود می‌شود. اندازه میدان جزئی برابر است با:

charge

نهایتا با استفاده از انتگرال‌گیریِ رابطه بالا از a=0 تا a=R، میدان الکتریکی برابر با مقدار زیر بدست می‌آید.

charge

حاصل انتگرال بالا را می‌توان با استفاده از روش تغییر متغیر محاسبه کرد. پس از محاسبه انتگرال، میدان الکتریکی ناشی از دیسک، در فاصله x از آن به صورت زیر بدست می‌آید.

charge

در حالت عمومی می‌توان توزیع‌های مختلفی از بار‌ را روی یک سیستم فرض کرد. هم‌چنین مثال‌های بالا مقدمه‌ای برای توصیف میدان‌های پیچیده‌تر هستند. به‌منظور بررسی مثال‌های بیشتر، می‌توانید به این لینک مراجعه کنید.

دوقطبی الکتریکی

به مجموعه دو ذره با بار برابر و علامت مخالف، دوقطبی الکتریکی گفته می‌شود. برای نمونه شکل زیر دو بار q+ و q- را نشان می‌دهد که در فاصله ۲a از یکدیگر قرار گرفته‌ و یک دوقطبی را تشکیل می‌دهند.

charge

شکل شماره ۳

برای سیستمی مطابق شکل بالا، کمیتی برداری تحت عنوان $overrightarrow {p}$ تعریف می‌شود که مقدار آن در قالب فرمول زیر تعریف می‌شود.

$$overrightarrow {p}=2qa {hat {j}}$$

در رابطه بالا ۲qa را اندازه دوقطبی می‌نامند. در حالت عمومی، برای یک سیستم متشکل از N بار، بردار دوقطبی الکتریکی را می‌توان به شکل زیر تعریف کرد.

charge

در رابطه بالا $overrightarrow {r}_i$ بردار مکان بار qi را نشان می‌دهد. مولکول‌های شناخته شده‌ای مثل HCL ،CO و H2O بهترین نمونه‌های دوقطبی الکتریکی هستند. در حالت کلی هر مولکولی که مرکز مثبت و منفی آن بر یکدیگر منطبق نباشد را می‌توان به عنوان یک دوقطبی الکتریکی تلقی کرد.

میدان الکتریکی یک دوقطبی

شاید این سئوال برایتان پیش آمده باشد که چطور می‌توان میدان الکتریکی ناشی از یک دوقطبی را محاسبه کرد؟ بر مبنای شکل ۳ اندازه میدان الکتریکی در نقطه P و در راستای x برابر با مقدار زیر است.

electric field

مشابه با حالت بالا، میدان الکتریکی این دوقطبی در راستای y را می‌توان با استفاده از رابطه زیر بدست آورد.

charge

در حالتی که فاصله r را بسیار بزرگ‌تر از a در نظر بگیریم، مولفه‌های x و y میدان الکتریکی به صورت زیر در می‌آیند.

charge

در رابطه بالا sin θ=x/r و cos θ=y/r محاسبه می‌شوند. در نتیجه رابطه $۳prcos{theta}=3{overrightarrow p}.{overrightarrow r}$ برقرار است. نهایتا میدان الکتریکی را می‌توان بر حسب ضرب داخلی بردار گشتاور دوقطبی  و موقعیت ذره، به شکل زیر بیان کرد:

معادله بالا در حالت سه‌بعدی نیز قابل بیان است. هم‌چنین این رابطه نشان می‌دهد که با افزایش r میدان الکتریکی ${overrightarrow E}$ کاهش می‌یابد. به حالتی که دو بار مثبت و منفی q بسیار به هم‌ نزدیک باشند، بار نقطه‌ای گفته می‌شود. در شکل زیر میدان ناشی از دو بار در دو حالت نقطه‌ای و حالتی که با هم فاصله داشته باشند‌، نشان داده شده.

charge

حضور دوقطبی در میدان الکتریکی

به نظر شما اگر یک دوقطبی با گشتاور ${overrightarrow P}$ در معرض میدانی در راستای x قرار گیرد، چه اتفاقی خواهد افتاد. برای بررسی این موضوع، مطابق با شکل زیر، دو قطبی را در نظر بگیرید که در یک میدان الکتریکی قرار گرفته.

charge

شکل شماره ۴

با فرض این‌که زاویه بردار گشتاور آن با محور x برابر با $theta$ باشد، می‌توان گفت:

charge

همان‌طور که از شکل ۴ نیز مشخص است، از آنجایی که نیروی برابر ولی با جهت مخالف به دو قطبی وارد می‌شود، بنابراین نیروی خالص وارد شده به مجموعه دوبار برابر با صفر است. در نتیجه می‌توان نوشت:

charge

اگرچه برآیند این نیروها صفر است، اما منجر به ایجاد گشتاور خالصی حول نقطه O خواهند شد. این گشتاور به شکل زیر بدست می‌آید.

charge

$F_{-}$ نیروی وارد به بار منفی و $F_{+}$ نیروی وارد به بار مثبت را نشان می‌دهد. با بررسی رابطه بالا متوجه می‌شویم که جهت گشتاور خلاف جهت محور عمود بر صفحه است. این گشتاور منجر به دوران ساعتگرد دوقطبی شده و بردار‌ میدان و گشتاور دوقطبی را با یکدیگر هم‌جهت می‌کند. با استفاده از رابطه F=Eq، اندازه گشتاور وارد شده به دو قطبی را می‌توان از رابطه زیر محاسبه کرد.

charge

فرم عمومی رابطه بالا را به‌شکل زیر بیان می‌شود:

charge

رابطه بالا حاصلضرب خارجی تکانه خطی یک دوقطبی در میدان الکتریکی است. مفهوم دوقطبی بیشتر به‌منظور توضیح رفتار مولکو‌ل‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرد. در آینده در مورد کاربرد دوقطبی الکتریکی بیشتر بحث خواهیم کرد.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه فیزیک و مهندسی برق آموزش‌های زیر به شما پیشنهاد می‌شود:

^^


بر اساس رای ۱ نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟